إليكَ 11 عددًا أجمل من العدد باي

هنا في Live Science نحب الأرقام. وفي اليوم العالمي للعدد (باي–π) – 14 آذار/مارس أو 14/3 – نحب أن نحتفل به؛ وهو أشهر عدد غير نسبي في العالم، وأول عشر خانات منه هي 3.141592653.

كنسبة محيط الدائرة إلى قطرها، فإنّ باي ليس عددًا غير نسبي فحسب؛ الأمر الذي يعني أنه ليس من الممكن كتابته كنسبة بين عددين أي ككسر بسيط. إنَّه أيضًا متسامٍ؛ الأمر الذي يعني أنه ليس جذرًا أو حلًا لأية معادلة كثيرة الحدود مثل:

x+2x^2+3=0

طلبنا من بضعة علماء رياضيات إخبارنا عن أعدادهم المفضلة غير الباي. إليكَ بعض إجاباتهم:

العدد تاو-Tau

أتعلم ما الأفضل من فطيرة واحدة؟ … فطيرتان. بعبارةٍ أخرى؛ إنَّه ضعف الباي أو العدد (تاو–τ)، والذي يساوي تقريبًا 6.28.

“يجعل استخدام تاو كل القوانين أكثر وضوحًا ومنطقيةً من باي”، يقول جون بايز-John Baez، وهو عالم رياضيات في جامعة كاليفورنيا ريفرسايد-the University of California, Riverside “إنَّ تركيزنا على باي بدلًا من تاو خطأ تاريخي”.

أضاف كذلك: “إن تاو هو الذي يظهر في الصيغ (المعادلات) الأكثر أهمية”.

يربط باي بين محيط الدائرة وقطرها، في حين يربط تاو بين محيط الدائرة ونصف قطرها، ويتجادل العديد من علماء الرياضيات أن هذه العلاقة أهم بكثير. يجعل تاو أيضًا المعادلات غير المترابطة متناظرة بشكلٍ رائع؛ مثل معادلة مساحة الدائرة، والمعادلة التي تصف الطاقة الحركية والمرنة.

لكن تاو لن يُنسى في يوم باي! وفقًا للتقاليد، يرسل معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا (MIT) القرارات في 14 آذار/مارس الساعة 6:28 بعد الظهر. بعد شهور قليلة من الآن وتحديدًا في 28 حزيران/يونيو سيكون يوم تاو.

أساس اللوغارتم الطبيعي

يمكن ألّا يملك أساس اللوغارتمات الطبيعية -والذي يُكتب؛ (e)، نسبةً لعالم القرن الثامن عشر السويسري ليونارد أويلر- نفس شهرة الباي، لكن لديه يوم خاص به أيضًا. لذا بينما يُحتفل بالعدد 3.14 في 14 آذار/مارس، يُحتفل كذلك بأساس اللوغارتم الطبيعي -العدد غير النسبي الذي يبدأ ب 2.718 – في 7 شباط/فبراير.

يُستخدم أساس اللوغارتمات الطبيعية عادةً في المعادلات التي تتضمن لوغارتمات، تزايدًا أسيًّا، وأعدادًا عقدية.

“يملك تعريفًا رائعًا على أنه العدد الوحيد الذي من أجله يكون للدالة الأسية y=e^x ميل مساوٍ لقيمتها في كل نقاطها” صرّح كيث ديفلن-Keith Devlin لمجلة Live Science؛ وهو مدير مشروع التوعية بالرياضيات في جامعة ستانفورد في كلية الدراسات العليا. بعبارةٍ أخرى، لِنَقُل إن قيمة التابع هي 7.5 عند نقطة معينة؛ فإن ميله أو مشتقه في تلك النقطة أيضًا 7.5. “وكذلك بشكلٍ مشابهٍ للعدد باي، فإنَّه يظهر طوال الوقت في الرياضيات، الفيزياء، والهندسة” قال ديفلن.

العدد التخيلي i

احذف الحرف p من pi، ما الناتج؟ هذا صحيح، العدد i. لا، لا تسير الأمور هكذا لكن i رقم مذهل. إنَّه الجذر التربيعي للعدد (-1)، ما يعني أنه كاسر للقاعدة كوننا لا نجذر عددًا سالبًا.

“رغم ذلك، إذا كسرنا هذه القاعدة فإننا نخترع الأعداد التخيلية، وكذلك الأعداد العقدية، وكلها جميلة ومفيدة”، صرّحت يوجينيا تشينغEugenia Cheng- لـ Live Science في بريد إلكتروني، وهي عالمة رياضيات في كلية معهد الفنون بشيكاغو. (تُمثَّل الأعداد العقدية جمعًا بين الأجزاء الحقيقية والتخيلية).

“يعدُّ العدد التخيلي i عددًا عجيبًا بشكل استثنائي لأن -1 لديه جذران تربيعيان: i و -i، لكننا لا نستطيع تحديد أيهما! على علماء الرياضيات فقط اختيار أحد الجذرَين وتسميته i والآخر -i”.

“إنَّه عجيب ورائع” قالت تشينغ.

العدد i مرفوعًا للأس i

صدق أو لا تصدق، لكن هناك طرق لجعل العدد i أكثر غرابةً. بإمكانك على سبيل المثال رفع i للأس i؛ بعبارةٍ أخرى ارفع الجذر التربيعي لـ -1 للأس (الجذر التربيعي لـ -1).

“يبدو للوهلة الأولى كأنه أكثر عدد تخيلي ممكن، عدد تخيلي مرفوع لأس تخيلي”، صرّح ديفيد ريكسونDavid-Richeson لصحيفة Live Science، وهو بروفيسور رياضيات في كلية ديكينسون-Dickinson في بينسلفينيا، ومؤلف كتاب (قصص المستحيل: البحث ذو عمر الألفَي سنة لحل المسائل الرياضية للعصور القديمة)؛ مطبعة جامعة برينستونPrinceton University Press, 2019-. “لكن، في الواقع، كما كتب ليونارد أويلر في رسالة سنة 1746 إنه عدد حقيقي!”

يتضمن إيجاد قيمة i أس i إعادة ترتيب متطابقة أويلر؛ وهي صيغة تربط بين العدد غير النسبي e، العدد التخيلي i، والجيب والتجيب لزاويةٍ محددة. تستطيع بحلّك للمعادلة بالنسبة للزاوية 90 (التي يمكن التعبير عنها بالعدد باي مقسومًا على 2) تبسيط المعادلة لتظهر أن i أس i يساوي e مرفوعًا للأس (سالب باي مقسومًا على 2).

يبدو الأمر مربكًا، لكن النتيجة تساوي تقريبًا 0.207 وهو عدد حقيقي جدًا. على الأقل في حالة الزاوية 90.

“مثلما أشار أويلر فإنَّ i أس i لا يملك قيمةً واحدة”، قال ريكسون. لكنه يملك عددًا لا نهائيًا من القيم اعتمادًا على الزاوية التي يُحل من أجلها. ولذلك السبب من غير المحتمل أن نحتفل بيوم i أس i مطلقًا.

عدد بيلفيغور-belphegor الأوّلي

إنَّ عدد بيلفيغور الأولي عددٌ أوليٌ متناوب يتكون من 666 محاطة بـ 13 صفرًا وواحد من كل جانب. يمكن اختصار هذا العدد المشؤوم بـ 1 0(13) 666 0(13) 1، حيث يرمز العدد (13) لعدد الأصفار بين الواحد والـ 666.

وبالرغم من أنه لم يَكتشف العدد، فإن العالم والكاتب كليف بيكوفر-Cliff Pickover جعل من هذا العدد شرير المظهر عددًا ذا شهرة عندما سماه تيمنًا باسم بيلفيغور- Belphegor (أو Beelphegor)، وهو أحد أمراء الشياطين السبع للجحيم المذكورين في الكتاب المقدس.

يبدو أن العدد يملك رمزه الشيطاني الخاص أيضًا، والذي يبدو كرمز باي مقلوب. وفق موقع بيكوفر؛ فإنَّ الرمز مشتق من صورة رمزية من مخطوطة فوينيتش الغامضة، وهي مجموعة رسومات توضيحية ونصوص يعود تاريخها لبداية القرن الخامس عشر، والتي لا يبدو أن أحدًا يفهمها.

العدد 2^{aleph_0}

كرَّس عالم الرياضيات في هارفرد دبليو هيو ودين- W. Hugh Woodin العديد من السنوات لإجراء أبحاث حول الأعداد غير المنتهية. بالتالي فإنَّها ليست مفاجأةً أن عدده المفضل عددٌ غير منتهٍ: 2^{aleph_0} أو اثنان مرفوع للأس aleph-naught ويُسمّى أيضًا aleph-null.

تُستخدم أرقام Aleph لوصف أحجام مجموعات غير منتهية؛ إذ أن المجموعة هي أي تجميعة من أرقام مستقلة في الرياضيات. (لذا، على سبيل المثال، يمكن أن تشكل الأعداد 2، 4، و6 مجموعةً حجمها 3).

أما عن سبب اختيار ودين للعدد قال: “إدراك أن 2^{aleph_0} ليست \aleph_0 (أي نظرية كانتور-Cantor) هو إدراك أن هناك أحجامًا مختلفة من اللانهاية. لذا يجعل ذلك من مفهوم 2^{\aleph_0} مفهومًا مميزًا إلى حد ما”.

بعبارةٍ أخرى، يوجد دائمًا شيء أكبر: الأرقام الأصلية-cardinal numbers اللانهائية غير منتهية، لذا فإنه لا يوجد شيء يدعى أكبر عدد أصلي.

ثابت أبيري-Apéry

صرّح عالم الرياضيات في جامعة هارفرد أوليفر نيل-Oliver Knill لصحيفة Live Science أن عدده المفضَّل هو ثابت أبيري (زيتا (3))، “لأنه ما زال هناك بعض الغموض بخصوصه”. أثبت عالم الرياضيات الفرنسي روجر أبيري-Roger Apéry عام 1979 أن قيمة ثابت أبيري هي عدد غير نسبي. (يبدأ ب 1.2020569 ويستمر للانهاية). يُكتب الثابت كذلك بالصيغة: زيتا (3) إذ تمثل زيتا (3) تابع زيتا ريمان عندما تعوض فيه العدد 3.

تتوقع حدسية ريمان -وهي إحدى المسائل البارزة في الرياضيات- متى يساوي تابع زيتا ريمان القيمة صفر، وإذا ما تم إثباتها ستسمح لعلماء الرياضيات بتوقّع كيفية توزيع الأعداد الأولية بشكلٍ أفضل.

بالنسبة لحدسية ريمان فإنَّ عالم رياضيات القرن العشرين المشهور ديفيد هيلبرت-David Hilbert قال مرةً، “إذا ما استيقظت بعد نومٍ دام لألف سنة سيكون أول سؤال لي هو: هل أُثبتَت حدسية ريمان؟”.

إذًا ما الأمر المهم حول هذا الثابت؟ وجدنا أن ثابت أبيري يظهر في مجالات مذهلة في الفيزياء، من ضمنها المعادلات الحاكمة لمغناطيسية الإلكترون وعلاقتها بزخمه الزاوي.

العدد 1

هذا وأجاب إيد ليتزتر-Ed Letzter، وهو عالم رياضيات في جامعة تيمبل-Temple في فيلادلفيا (ووالد رافي ليتزتر-Rafi Letzter الكاتب السابق في طاقم Live Sciene) إجابةً عملية:

“أظن أن هذا جواب ممل، لكنني سأختار الرقم 1 كعدد مفضل، سواء كعدد أو لأدواره المختلفة في العديد من السياقات المجردة المختلفة”؛ صرّح لـ Live Science.

إنّ الواحد هو العدد الوحيد الذي تُقسَم به كل الأعداد الأخرى إلى أعداد صحيحة. إنَّه العدد الوحيد الذي يقبل القسمة على عدد واحد موجب صحيح فقط (الواحد نفسه). إنَّه العدد الصحيح الموجب الوحيد الذي ليس أوليًا أو مركبًا.

تُمثَّل القيم غالبًا في الرياضيات والهندسة بين الصفر والواحد. إنَّ (مئة بالمئة 100%) طريقة رائعة لنقول واحد. أي إنّها كاملة ومكتملة.

وبالطبع، في جميع العلوم، يُستخدم الواحد للتعبير عن وحدات أساسية. يملك البروتون الواحد الشحنة (+1)، في المنطق الثنائي واحد يعني نعم، كما أنَّه العدد الذري لأخف عنصر كيميائي، وكذلك بُعد الخط المستقيم.

متطابقة أويلر

إنَّ متطابقة أويلر -وهي معادلة في الواقع- جوهرة رياضية حقيقية كما وُصفَت من قبل الفيزيائي ريتشارد فينمان-Richard Feynman. كما قورنت أيضاً بسونيتة شكسبيرية.

باختصار، تجمع متطابقة أويلر عددًا من الثوابت الرياضية: باي، أساس اللوغارتم الطبيعي e، والوحدة التخيلية i.

“تجمع المتطابقة هذه الثوابت الثلاثة مع حيادي الجمع العدد صفر ومتطابقة الضرب في الحساب الأولي: e^{i*Pi} + 1 = 0” قال ديفلن-Devlin.

العدد صفر

بما أننا نتحدث عن مدى روعة العدد 1، لمَ لا نتحدث إذًا في العدد الأكثر غرابة وجمالية؛ العدد صفر؟ لم يكن مفهوم الصفر مهمًا في معظم التاريخ البشري المكتوب. وفقًا لجامعة سانت آندروز-St. Andrews في سكوتلندا فإنَّ الألواح الطينية من العصور البابلية القديمة لم تُميِّز دائمًا بين الأرقام مثل 216 و2106.

بدأ اليونانيون القدماء بتطوير فكرة استخدام الصفر كمؤشر للخانة الفارغة، للتمييز بين الأرقام مختلفة المراتب، لكن ذلك لم يتم حتى حوالي القرن السابع عندما بدأ علماء الرياضيات الهنود، أمثال براماغوبتا-Brahmagupata بوصف الفكرة الحديثة للصفر.

كتب براماغوبتا أن حاصل ضرب أي عدد بصفر هو صفر، لكنه واجه صعوبة في القسمة؛ بقوله إن حاصل قسمة أي عدد n على صفر هو n/0 بدلًا من الجواب الحديث وهو أن الناتج غير معرَّف. (اكتشفت حضارة المايا مفهوم الصفر بشكلٍ مستقل بحلول عام 665 بعد الميلاد).

يعدُّ الصفر مفيدًا جدًا، لكنه مفهوم صعب جدًا بالنسبة لكثير من الناس الذين لا يستطيعون فهمه. لدينا في الحياة اليومية أمثلة مثل حصان واحد أو ثلاث دجاجات لكن استخدام عدد للتعبير عن العدم يشكل قفزةً مفاهيمية أكبر. “الصفر موجود في فكرنا وليس في العالم المحسوس” صرّح روبرت كابلانRobert Kaplan- لصحيفة Vox، وهو أستاذ رياضيات في جامعة هارفرد. لكن رغم ذلك، فإننا دون الصفر والواحد لن نستطيع تمثيل كامل الكود الثنائي-binary code الرقمي الذي يجعل عالمنا المعاصر يعمل. (تُمثَّل البيانات في الحواسيب بسلاسل من الأصفار والواحدات).

الجذر التربيعي للعدد 2

ربما كان الجذر التربيعي للعدد 2، أكثر رقم خطير تخيلناه، إذ أدّى لأول جريمة قتل رياضية في التاريخ. وفقًا لجامعة كامبريدج، يعود فضل اكتشافه للرياضي الإغريقي هيباسوس الأثيني-Hippasus of Metapontum في القرن الخامس قبل الميلاد. يُقال إنه بينما كان هيباسوس يعمل على مسألة رياضية مختلفة، تعثر بفكرة أن المثلث القائم متساوي الساقين والذي طول كلّ من ضلعيه القائمَين يساوي الواحد؛ سيكون طول وتره √2 وهو عدد غير نسبي.

وفقًا للأسطورة، فإنَّ المعاصرين لهيباسوس؛ وهم أعضاء النظام شبه الديني المعروفين بالفيثاغورسيين، ألقوا به في البحر بعد سماعهم عن اكتشافه العظيم. ويعود ذلك إلى أنَّ الفيثاغورسيين كانوا مؤمنين أنَّ كل شيء مكون من أرقام وأن الكون يضم فقط الأعداد الصحيحة ونسبها، إذ كان يُنظَر للأعداد غير النسبية مثل √2 وباي والتي لا يمكن التعبير عنها كنسبة من الأعداد الصحيحة؛ بل تستمر للانهاية بعد الفاصلة العشرية، كشيء بغيض.

في يومنا هذا أصبحنا أكثر هدوءًا نوعًا ما بشأن √2 الذي ندعوه غالبًا ثابت فيثاغورس. يبدأ بـ 1.4142135623 … (وبالتأكيد يستمر للانهاية). لثابت فيثاغورس استعمالات عديدة. إضافةً إلى إثبات وجود الأعداد غير النسبية، يُستخدم أيضًا من قبل المنظمة الدولية للمعايير (ISO) لتحديد حجم الورقة A. يقول التعريف 216 لورقة الـ A: إن حاصل قسمة طول الورقة على عرضها يجب أن يساوي 1.4142. هذا يعني أن ورقة من المقاس A1 مقسومة بالنصف على العرض ستعطي ورقتين من المقاس A2. اقسم ورقة A2 بالنصف مرة أخرى وستعطي ورقتين من المقاس A3، وهكذا.